Développement, Factorisation et Identités Remarquables

Niveau : 3ème Année Collège (3AC) – Maroc

Prérequis : Les opérations de base, les puissances, le calcul avec les nombres rationnels.

Introduction : Le pouvoir des lettres

En mathématiques, le calcul littéral est un outil formidable qui permet de généraliser des propriétés et de résoudre des problèmes de manière très efficace. Il consiste à utiliser des lettres (a, b, x, y…), appelées variables, pour représenter des nombres. Maîtriser le développement et la factorisation, ainsi que les identités remarquables, est essentiel pour simplifier les expressions et résoudre des équations.

1. Simplifier une expression littérale

Définition

Réduire une expression littérale, c’est l’écrire sous la forme d’une somme algébrique contenant le moins de termes possibles.

Méthode

Pour réduire une expression, on regroupe les termes de même nature.

  • Les termes constants (sans lettre) sont regroupés entre eux.
  • Les termes avec la même partie littérale (x, x², xy, etc.) sont regroupés entre eux.

Exemple : Réduisons l’expression 4 + 3x + 6 – 7x.

  • On regroupe les constantes : 4 + 6 = 10
  • On regroupe les termes en x : 3x - 7x = -4x
  • L’expression réduite est donc : -4x + 10

Attention ! On ne peut pas additionner 4 + 3x pour obtenir 7x. C’est une erreur fréquente ! 4 est un nombre constant, tandis que 3x dépend de la valeur de x. Ce sont des termes de nature différente.

2. Développer une expression

Définition

Développer un produit signifie le transformer en une somme algébrique. C’est “supprimer” les parenthèses en appliquant la règle de distributivité.

2.1. Distributivité simple

Propriété

Pour tous nombres réels k, a, b :

k(a + b) = ka + kb 
k(a - b) = ka - kb

On dit que la multiplication est distributive par rapport à l’addition et à la soustraction.

Exemples

  • 3(5a + 7) = 3×5a + 3×7 = 15a + 21
  • √5 (√5 - 1) = √5×√5 - √5×1 = (√5)² - √5 = 5 - √5

2.2. Double distributivité

Propriété

Pour tous nombres réels a, b, c, d :

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Pour appliquer cette règle, on multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la deuxième parenthèse. On peut penser à l’acronyme F O I L en anglais (First, Outer, Inner, Last) ou simplement “tirer des flèches”.

  • First : a × c
  • Outer : a × d
  • Inner : b × c
  • Last : b × d

Exemple

Développons (3 - a)(4a + 2).

= 3×4a + 3×2 + (-a)×4a + (-a)×2 
= 12a + 6 - 4a² - 2a 
= -4a² + (12a - 2a) + 6 // On réduit l'expression 
= -4a² + 10a + 6

3. Factoriser une expression

Définition

Factoriser une somme algébrique signifie la transformer en produit. C’est le processus inverse du développement. C’est “mettre en évidence” un facteur commun.

3.1. Factorisation par facteur commun

Propriété

Pour tous nombres réels k, a, b :

ka + kb = k(a + b) 
ka - kb = k(a - b)

Méthode

  1. Identifier le facteur commun à tous les termes. C’est souvent un nombre, une lettre, ou une expression entre parenthèses.
  2. Le “sortir” devant une parenthèse.
  3. Écrire à l’intérieur de la parenthèse le résultat de chaque terme divisé par le facteur commun.

Exemples

  • 4a² + 3a = a×4a + a×3 = a(4a + 3) (Le facteur commun est a)
  • R = 4x² + 4x + 4 = 4×x² + 4×x + 4×1 = 4(x² + x + 1) (Le facteur commun est 4)
  • S = -5x² + 10x + 15 = -5×x² + -5×(-2x) + -5×(-3) = -5(x² - 2x - 3) (On fait attention au signe -)

3.2. Factorisation avec un facteur commun “caché”

Parfois, le facteur commun n’est pas un simple terme mais une expression.

Exemple :(x + 7)(5 − 4x) − 2(5 − 4x) Ici, l’expression (5 - 4x) est commune aux deux parties de la soustraction. On peut donc la factoriser.

= (5 − 4x) × (x + 7) - (5 − 4x) × 2 
= (5 − 4x)[(x + 7) - 2] 
= (5 − 4x)(x + 5)

4. Les Identités Remarquables

calcul littérale et identites remarquables

Les identités remarquables sont des formules de développement et de factorisation très courantes qu’il faut absolument connaître par cœur. Elles permettent de gagner un temps précieux.

4.1. Carré d’une somme

Formule

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Démonstration :

(a + b)² = (a + b)(a + b) 
= a×a + a×b + b×a + b×b 
= a² + ab + ab + b² 
= a² + 2ab + b²

En français : “Le carré de la somme est égal au carré du premier, plus le double produit du premier par le second, plus le carré du second.”

Attention !(a + b)² n’est PAS égal à a² + b². Il ne faut jamais oublier le double produit 2ab.

Exemple

(x + 3)² = x² + 2×x×3 + 3² = x² + 6x + 9

4.2. Carré d’une différence

Formule

(a - b)² = a² - 2ab + b²

En français : “Le carré de la différence est égal au carré du premier, moins le double produit du premier par le second, plus le carré du second.”

Exemple

(2u - 5)² = (2u)² - 2×2u×5 + 5² = 4u² - 20u + 25

4.3. Produit d’une somme par une différence

Formule

(a + b)(a - b) = a² - b²

Démonstration :

(a + b)(a - b) = a×a + a×(-b) + b×a + b×(-b) 
= a² - ab + ab - b² 
= a² - b²

En français : “Le produit de la somme par la différence est égal à la différence des carrés.” C’est une formule de factorisation très utile.

Exemple

(z - 1)(z + 1) = z² - 1² = z² - 1

5. Application : Résolution d’équations

Les identités remarquables sont parfaites pour résoudre des équations du second degré.

Exemple : Résoudre 4v² - 1 = 0. On reconnaît une différence de deux carrés (2v)² - (1)². On peut donc factoriser :

(2v - 1)(2v + 1) = 0

Un produit de facteurs est nul si au moins un des facteurs est nul.

  • Soit 2v - 1 = 0 → 2v = 1 → v = 1/2
  • Soit 2v + 1 = 0 → 2v = -1 → v = -1/2

Les solutions sont donc S = {-1/2 ; 1/2}.

6. Exercices d’entraînement

Exercice 1 : Développer et réduire

Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes :

  • A = 3(2x - 5) + (x + 4)²
  • B = (2t - 7)(3t + 1) - t(4t - 5)
  • C = (u - 4)(u + 4) + (u - 2)²

Corrigé de l’exercice 1

A.
A = 3(2x - 5) + (x + 4)²
= 6x - 15 + (x² + 8x + 16) // On développe
= 6x - 15 + x² + 8x + 16 // On supprime les parenthèses
= x² + (6x + 8x) + (-15 + 16) // On regroupe les termes semblables
= x² + 14x + 1

B.
B = (2t - 7)(3t + 1) - t(4t - 5)
= (6t² + 2t - 21t - 7) - (4t² - 5t) // On développe
= 6t² - 19t - 7 - 4t² + 5t // On enlève les parenthèses en faisant attention au signe –
= (6t² - 4t²) + (-19t + 5t) - 7 // On réduit
= 2t² - 14t - 7

C.
C = (u - 4)(u + 4) + (u - 2)² = u² – 4² + u²-4u+4 = 2 u²– 4u – 12

Exercice 2 : Factoriser

Factoriser les expressions suivantes :

  • D = 25x² - 9
  • E = 4y² - 12y + 9
  • F = (3x - 1)(x + 2) - (3x - 1)(5x - 3)

Corrigé de l’exercice 2

On reconnaît une différence de deux carrés : (5x)² - (3)².
D = (5x - 3)(5x + 3)

On reconnaît le début d’une identité remarquable. (2y)² - 2×2y×3 + (3)² est de la forme a² - 2ab + b² qui vaut (a - b)².
E = (2y - 3)²

Le facteur commun est (3x - 1).
F = (3x - 1)(x + 2) - (3x - 1)(5x - 3)
= (3x - 1)[(x + 2) - (5x - 3)] // On met (3x-1) en facteur
= (3x - 1)[x + 2 - 5x + 3] // On simplifie l’intérieur du crochet
= (3x - 1)(-4x + 5)

Exercice 3 : Problème

On considère un rectangle dont la longueur mesure 3x + 5 cm et la largeur mesure x + 1 cm.

  1. Exprimer son périmètre P sous forme développée et réduite.
  2. Exprimer son aire A sous forme développée et réduite.
  3. Exprimer son aire A sous forme factorisée.
  4. Calculer le périmètre et l’aire pour x = 2 cm.

Corrigé de l’exercice 3

1. Périmètre P :
P = 2 × (Longueur + Largeur)
P = 2 × ((3x + 5) + (x + 1))
P = 2 × (4x + 6)
P = 8x + 12

2. Aire A (développée) :
A = Longueur × Largeur
A = (3x + 5)(x + 1)
A = 3x×x + 3x×1 + 5×x + 5×1
A = 3x² + 3x + 5x + 5
A = 3x² + 8x + 5

3. Aire A (factorisée) : Elle est déjà sous forme factorisée dans l’énoncé : A = (3x + 5)(x + 1). On peut aussi essayer de factoriser le résultat développé, mais ce n’est pas évident et cela donne la forme initiale.

4. Calcul pour x = 2 :
Périmètre : P = 8×2 + 12 = 16 + 12 = 28 cm
Aire : On utilise la forme factorisée, c’est plus simple : 33 cm²

Conclusion

Maîtriser le développement, la factorisation et les identités remarquables est fondamental pour la suite de ton parcours en mathématiques, notamment pour la résolution d’équations et l’étude des fonctions. Entraîne-toi régulièrement sur des exercices pour que ces mécanismes deviennent automatiques !

Ce cours est basé sur le programme de 3ème année collège (3AC) marocain. Retrouve d’autres leçons et exercices sur Revisio.ma .

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